10435. В трапеции ABCD
известно, что BC\lt AD
, AB=CD
, K
— середина AD
, M
— середина CD
, CH
— высота. Докажите, что прямые AM
, CK
и BH
пересекаются в одной точке.
Решение. Заметим, что AM
и CK
— медианы треугольника ACD
, поэтому точка L
их пересечения делит отрезок CK
в отношении 2:1
, считая от точки C
. Кроме того, BC:KH=2:1
, поскольку
KH=KD-DH=\frac{1}{2}AD-\frac{1}{2}(AD-BC)=\frac{1}{2}BC
(см. задачу 1912).
Используя параллельность AD
и BC
получим, что BH
делит отрезок CK
в отношении 2:1
, а значит, проходит через точку L
.