10451. Окружность с центром O
проходит через концы гипотенузы прямоугольного треугольника и пересекает его катеты в точках M
и K
. Докажите, что расстояние от точки O
до прямой MK
равно половине гипотенузы.
Решение. Первый способ. Пусть ABC
— данный прямоугольный треугольник с гипотенузой AB
, точки L
и N
— основания перпендикуляров, опущенных из точки O
на прямые AB
и MK
соответственно (рис. 1). Докажем, что треугольники MON
и OAL
равны, откуда и будет следовать утверждение задачи.
Заметим, что гипотенузы у них равны как радиусы, значит, достаточно доказать равенство углов MON
и OAL
.
Пусть \angle MON=\alpha
, тогда центральный угол MOK
равен 2\alpha
, а соответствующий ему вписанный угол MAK
равен \alpha
. Вписанный в окружность угол AKB
равен 90^{\circ}+\alpha
как внешний угол треугольника CAK
. Следовательно, центральный угол AOB
, опирающийся на меньшую дугу AB
, равен 180^{\circ}-2\alpha
. Значит, \angle OAL=\angle OAB=\alpha
. Что и требовалось доказать.
Второй способ. Пусть ABC
— данный прямоугольный треугольник с гипотенузой AB
, точка N
— основание перпендикуляра, опущенного из точки O
на MK
(рис. 2).
Проведём диаметр BK_{1}
. Тогда KK_{1}\perp BK
, значит, KK_{1}\parallel AM
, а AMKK_{1}
— равнобокая трапеция. Следовательно, AK_{1}=MK
.
Пусть OP
— перпендикуляр, опущенный из центра O
на хорду AK_{1}
. Равные хорды равноудалены от центра окружности, поэтому ON=OP
, а так как OP
— средняя линия прямоугольного треугольника ABK_{1}
, то
ON=OP=\frac{1}{2}AB.
Что и требовалось доказать.
Примечание. Отметим, что задача и её решение аналогичны по формулировке и доказательству следующего известного факта.
Если во вписанном в окружность четырёхугольнике диагонали перпендикулярны, то расстояние от центра окружности до его стороны равно половине противолежащей стороны (см. задачу 1911). В нашем же случае, хорды AM
и BK
окружности являются перпендикулярными сторонами четырёхугольника.
Автор: Волчкевич М. А.
Источник: Московская устная олимпиада по геометрии. — 2016, № 3, 8-9 классы