10455. Прямая, проходящая через центр I
вписанной окружности треугольника ABC
, перпендикулярна AI
и пересекает стороны AB
и AC
в точках C'
и B'
соответственно. В треугольниках BC'I
и CB'I
провели высоты C'C_{1}
и B'B_{1}
соответственно. Докажите, что середина отрезка B_{1}C_{1}
лежит на прямой, проходящей через точку I
и перпендикулярной BC
.
Решение. Пусть IH
— высота треугольника BIC
. Докажем, что четырёхугольник C_{1}IB_{1}H
параллелограмм, откуда и будет следовать утверждение задачи.
Первый способ. Заметим, что \angle AIC=90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle B
(см. задачу 4770). Следовательно, \angle B'IC=\frac{1}{2}\angle B
. Аналогично доказывается, что \angle C'IB=\frac{1}{2}\angle C
. Значит, треугольники BIC
, BC'I
и IB'C
— подобны по двум углам (рис. 1).
Поскольку IH
и B'B_1
— соответствующие высоты в подобных треугольниках, то \frac{BH}{HC}=\frac{IB_{1}}{CB_{1}}
, откуда следует, что HB_{1}\parallel BI
. Аналогично HC_{1}\parallel CI
, значит, C_{1}IB_{1}H
— параллелограмм. Что и требовалось доказать.
Второй способ. Пусть M
и K
— точки пересечения BC
с прямыми C'C_{1}
и B'B_{1}
соответственно (рис. 2). Тогда треугольники C'BM
и B'CK
равнобедренные, так как их высоты BC_{1}
и CB_{1}
являются высотами. Значит, C_{1}
и B_{1}
— середины отрезков C'M
и B'K
соответственно. Кроме того, IM=IC'=IB'=IK
. Следовательно, треугольник MIK
равнобедренный. Значит, его высота IH
является медианой, т. е. MH=HK
. Осталось заметить, что точки I
, C_{1}
, H
и B_{1}
являются серединами сторон четырёхугольника C'MKB'
, значит, эти точки — вершины параллелограмма (см. задачу 1204).
Автор: Якубов А. Г.
Источник: Московская устная олимпиада по геометрии. — 2016, № 7, 10-11 классы