10461. Дана равнобокая трапеция ABCD
с основаниями BC
и AD
. В треугольники ABC
и ABD
вписаны окружности с центрами O_{1}
и O_{2}
. Докажите, что прямая O_{1}O_{2}
перпендикулярна BC
.
Решение. Пусть K
и M
— точки касания данных окружностей со сторонами AD
и BC
соответственно, а BH
— высота трапеции. Поскольку O_{1}M\perp BC
, а O_{2}K\perp AD
, достаточно доказать, что MK\perp AD
, т. е. параллельность MK
и BH
.
Докажем, что BM=HK
, откуда, учитывая параллельность оснований трапеции, и будет следовать искомое.
Заметим, что
BM=p_{_{\triangle ABC}}-AC,~AK=p_{_{\triangle ABD}}-BD
(см. задачу 219). Тогда
AK-BM=(p_{_{\triangle ABD}}-BD)-(p_{_{\triangle ABC}}-AC)=
=\frac{AB+AD-BD}{2}-\frac{AB+BC-AC}{2}=\frac{1}{2}(AD-BC),
так как AC=BD
. Учитывая, что AH=\frac{1}{2}(AD-BC)
, получим требуемое.
Источник: Московская устная олимпиада по геометрии. — 2017, № 2, 8-9 классы