10474. В треугольнике ABC
с углом A
, равным 45^{\circ}
, проведена медиана AM
. Прямая b
симметрична прямой AM
относительно высоты BB_{1}
, а прямая c
симметрична прямой AM
относительно высоты CC_{1}
. Прямые b
и c
пересеклись в точке X
. Докажите, что AX=BC
.
Решение. Проведём через вершины треугольника ABC
прямые, параллельные его сторонам. Эти прямые образуют треугольник A'B'C'
(рис. 1). При этом вершины треугольника ABC
являются серединами сторон треугольника A'B'C'
(см. первый способ решения задачи 1256). Заметим, что BB_{1}
— серединный перпендикуляр к A'C'
, а точка A'
лежит на прямой AM
, значит, при симметрии относительно прямой BB_{1}
точка A'
переходит в C'
. Следовательно, точка C'
лежит на прямой b
. Аналогично, точка B'
лежит на прямой c
.
Углы с соответственно перпендикулярными сторонами равны, поэтому угол между высотами BB_{1}
и CC_{1}
тоже равен 45^{\circ}
. Прямые b
и c
получаются друг из друга композицией симметрий относительно этих высот, т. е. поворотом на удвоенный угол между ними (см. задачу 5107). Значит, b
и c
перпендикулярны. Медиана XA
прямоугольного треугольника XB'C'
равна половине гипотенузы B'C'
, следовательно, XA=\frac{1}{2}B'C'=BC
.