10486. Точка O
— центр описанной окружности остроугольного треугольника ABC
, AH
— его высота. Точка P
— основание перпендикуляра, опущенного из точки A
на прямую CO
. Докажите, что прямая HP
проходит через середину отрезка AB
.
Решение. Пусть M
— середина отрезка AB
. Рассмотрим точки A
, O
, M
и P
. Поскольку
\angle AMO=\angle APO=90^{\circ},
точки A
, O
, M
и P
лежат на одной окружности. Значит,
\angle CPM=\angle OPM=\angle OAM.
Рассмотрим точки A
, C
, H
и P
. Они также лежат на одной окружности, так как
\angle AHC=\angle APC=90^{\circ}.
Следовательно,
\angle CPH=\angle CAH.
Кроме того,
\angle CAH=\angle OAM
(см. задачу 20), значит,
\angle CPM=\angle OAM=\angle CAH=\angle CPH.
Следовательно, точки M
, P
и H
лежат на одной прямой, т. е. прямая HP
проходит через середину M
отрезка AB
.
Примечание. Расположение точек может отличаться от представленного на рисунке. Для других случаев расположения точек доказательство аналогично.