10490. Окружности
S_{1}
и
S_{2}
пересекаются в точках
A
и
B
, причём центр
O
окружности
S_{1}
лежит на
S_{2}
. Прямая, проходящая через точку
O
, пересекает отрезок
AB
в точке
P
, а окружность
S_{2}
в точке
C
. Из точки
C
проведены касательные
CD
и
CE
к окружности
S_{1}
(
D
и
E
— точки касания). Докажите, что точка
P
лежит на прямой
DE
.
Решение. Поскольку
\angle PBO=\angle ABO=\angle BAO=\angle BCO,

треугольники
PBO
и
BCO
подобны по двум углам. Значит,
\frac{OB}{OC}=\frac{OP}{OB}
, а так как
OD=OB
, то
\frac{OD}{OC}=\frac{OP}{OD}
. Следовательно, треугольники
ODC
и
OPD
подобны по двум сторонам и углу между ними, поэтому
\angle OPD=\angle ODC=90^{\circ}
, т. е.
DP\perp CO
. С другой стороны,
DE\perp CO
(см. задачу 1180), следовательно, точка
P
лежит на
DE
.
Примечание. Прямая
DE
называется полярой точки
C
относительно окружности
S_{1}
. Тогда задача может быть сформулирована так.
Окружности
S_{1}
и
S_{2}
пересекаются в точках
A
и
B
, причём центр
O
окружности
S_{1}
лежит на
S_{2}
. Прямая, проходящая через точку
O
, пересекает отрезок
AB
в точке
P
, а окружность
S_{2}
в точке
C
. Докажите, что точка
P
лежит на поляре точки
C
относительно окружности
S_{1}
.
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — Ч. 1. — М.: Наука, 1991. — № 3.33, с. 63
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 3.34, с. 60