1180. Прямые, проходящие через точку M
, касаются окружности с центром O
в точках A
и B
. Докажите, что прямая MO
перпендикулярна отрезку AB
и делит его пополам.
Решение. Пусть K
— точка пересечения MO
и AB
. Поскольку MA=MB
(см. задачу 1723), треугольник AMB
равнобедренный, а так как MO
— биссектриса угла AMB
(см. задачу 1724), то MK
— биссектриса, а значит, высота и медиана треугольника AMB
. Следовательно, MO\perp AB
и AK=KB
.