10504. В треугольнике ABC
сторона BC
наименьшая. На лучах BA
и CA
отложены отрезки BD
и CE
, равные BC
. Докажите, что радиус описанной окружности треугольника ADE
равен расстоянию между центрами вписанной и описанной окружностей треугольника ABC
.
Решение. Пусть O
и I
— центры соответственно описанной и вписанной окружностей треугольника ABC
, K
—точка касания вписанной окружности со стороной AB
, L
— середина этой стороны. Обозначим BC=a
, AC=b
, AB=c
.
Рассмотрим окружность с центром I
радиуса IO=d
. Проведём хорды OM
и ON
этой окружности, параллельные AB
и AC
соответственно. Отрезки OL
и IK
параллельны, так как оба они перпендикулярны AB
. Пусть прямые IK
и OM
пересекаются в точке P
. Поскольку OM\parallel AB
и IK\perp AB
, то IP\perp OM
. Значит, P
— середина хорды OM
, поэтому
OM=2OP=2KL=2(BL-BK)=2BL-2BK=
=c-(a+c-b)=b-a=AE
(см. задачу 219). Аналогично ON=AD
, значит, треугольники ADE
и OMN
равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, радиус описанной окружности треугольника ADE
равен радиусу IM=d
описанной окружности треугольника OMN
.