10519. В выпуклом четырёхугольнике ABCD
известно, что \angle B=\angle C=60^{\circ}
, AD=21
, BC=40
. Окружность с центром на стороне BC
касается сторон AB
, AD
и CD
. Найдите стороны AB
и CD
.
Ответ. 25; 16.
Решение. Пусть прямые AB
и CD
пересекаются в точке P
. Тогда треугольник BPC
равносторонний со стороной 40. Полуокружность с центром O
на стороне BC
касается отрезков AB
, AD
и CD
, значит, периметр треугольника APD
равен PM+PN
, где M
и N
— точки касания полуокружности с отрезками CD
и AB
соответственно (см. задачу 1732).
Поскольку PO
— биссектриса, а значит, медиана и высота треугольника PBC
, из прямоугольного треугольника OPM
находим, что
PN=PM=OP\cos30^{\circ}=\frac{40\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=30.
Следовательно, периметр треугольника APD
равен 60.
Обозначим PA=x
, PD=y
. Тогда x+y+21=60
, поэтому x+y=39
, откуда x^{2}+y^{2}+2xy=39^{2}
. По теореме косинусов из треугольника APD
получаем, что x^{2}+y^{2}-xy=21^{2}
. Вычитая и первого равенства второе, получим, что 3xy=39^{2}-21^{2}=18\cdot60
, откуда xy=360
. Таким образом, x+y=39
и xy=360
. Решения этой системы: x=24
, y=15
или x=15
, y=24
. В первом из этих случаев AB=40-x=16
, CD=40-y=25
, во втором — AB=25
, CD=16
.
Источник: Дополнительное вступительное испытание в МГУ. — 2017, тренировочный вариант, № 6