10524. Дан вписанный четырёхугольник ABCD
. Прямые AB
и DC
пересекаются в точке E
, а прямые BC
и AD
— в точке F
. В треугольнике AED
отмечен центр вписанной окружности I
, а из точки F
проведён луч, перпендикулярный биссектрисе угла AID
. В каком отношении этот луч делит угол AFB
?
Ответ. 1:3
.
Решение. Пусть K
— основание перпендикуляра, опущенного из точки F
на биссектрису угла QED
.
Заметим, что угол между биссектрисами углов AED
и AFB
равен 90^{\circ}
(см. 162). Кроме того, так как ID
, IE
и IA
— биссектрисы углов D
, E
и A
треугольника ADE
, то
\angle EID=90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle A~\mbox{и}~\angle AID=180^{\circ}-\frac{1}{2}(\angle A+\angle D)
(см. задачу 4770), поэтому угол между биссектрисой угла AFB
и лучом FK
равен
180^{\circ}-\angle EIK=180^{\circ}-\angle EID-\angle DIK=
=180^{\circ}-\left(90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle A\right)-\frac{1}{2}\left(180^{\circ}-\frac{1}{2}(\angle A+\angle D)\right)=
=\frac{1}{4}(\angle D-\angle A)=\frac{1}{4}((180^{\circ}-\angle B)-\angle A)=\frac{1}{4}\angle AFB.
Следовательно,
\angle AFK=\frac{1}{4}\angle AFB.
Автор: Москвитин Н. А.
Источник: Олимпиада по геометрии им. И. Ф. Шарыгина. — 2018, заочный тур, № 2, 8 класс