10528. Дан треугольник ABC
с прямым углом C
. Точки K
, L
, M
— середины сторон AB
, BC
, CA
соответственно, N
— точка на стороне AB
. Прямая CN
пересекает прямые KM
и KL
в точках P
и Q
. Точки S
и T
на сторонах AC
и BC
таковы, что четырёхугольники APQS
и BPQT
— вписанные. Докажите, что:
а) если CN
— биссектриса, то прямые CN
, ML
, ST
пересекаются в одной точке;
б) если CN
— высота, то ST
проходит через середину ML
.
Решение. а) Из условия следует, что
CP=CM\sqrt{2}=\frac{AC}{\sqrt{2}},~CQ=\frac{BC}{\sqrt{2}}.
Из точки C
проведены секущие CSA
и CQP
к описанной окружности четырёхугольника APQS
, поэтому (см. задачу 2636)
CS\cdot CA=CQ\cdot CP~\Rightarrow~CS=\frac{CQ\cdot CP}{AC}=\frac{\frac{BC}{\sqrt{2}}\cdot\frac{AC}{\sqrt{2}}}{AC}=\frac{1}{2}BC=BL=CL.
Аналогично CT=CM
. Следовательно, отрезки ML
и ST
симметричны относительно прямой CN
и их точка пересечения лежит на этой прямой.
б) Из подобия треугольников CMP
, ACB
получаем, что
\frac{CM}{CP}=\frac{BC}{AB}~\Rightarrow~CP=\frac{CM\cdot AB}{BC}=\frac{\frac{1}{2}AC\cdot AB}{BC}=\frac{AC\cdot AB}{2BC},
а из подобия треугольников QLC
и ACB
—
\frac{CQ}{AB}=\frac{CL}{AC}~\Rightarrow~CQ=\frac{CL\cdot AB}{AC}=\frac{\frac{1}{2}BC\cdot AB}{AC}=\frac{BC\cdot AB}{2AC}.
Значит,
CS=\frac{CQ\cdot CP}{AC}=\frac{\frac{BC\cdot AB}{2AC}\cdot\frac{AC\cdot AB}{2BC}}{AC}=\frac{AB^{2}}{4AC},~
CT=\frac{CQ\cdot CP}{BC}=\frac{AB^{2}}{4BC},
поэтому \frac{CT}{CS}=\frac{AC}{BC}
, и треугольник CST
подобен треугольнику CBA
по двум сторонам и углу между ними.
Пусть CH
— высота треугольника CST
. Тогда
\angle SCH=\angle CTS=\angle CAB=\angle ACK=\angle SCK,
поэтому точка H
лежит на луче CK
. При этом
CH=\frac{CS\cdot CT}{ST}=CS\cdot\frac{CT}{ST}=\frac{AB^{2}}{4AC}\cdot\frac{AC}{AB}=\frac{1}{4}AB=\frac{1}{2}CK.
Следовательно, точка H
совпадает с серединой отрезка LM
.