10530. В остроугольном треугольнике расположен квадрат: две его вершины находятся на одной из сторон треугольника, а две другие — по одной на других сторонах. Аналогичные квадраты построены для двух других сторон треугольника. Докажите, что из трёх отрезков, равных сторонам этих квадратов, можно составить остроугольный треугольник.
Решение. Заметим, что если c
— наибольший из отрезков a
, b
, c
, и при этом a^{2}+b^{2}\gt c^{2}
, то из этих отрезков можно составить треугольник, причём этот треугольник остроугольный. Действительно,
во-первых:
(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}\gt a^{2}+b^{2}\gt c^{2},
поэтому a+b\gt c
, значит, из отрезков a
, b
, c
можно составить треугольник;
во-вторых: угол, противолежащий наибольшей стороне c
, острый (см. задачу 4004).
Пусть вершины K
, L
наибольшего из трёх квадратов лежат на стороне AB
остроугольного треугольника ABC
, а его вершины M
и N
— на сторонах BC
и AC
соответственно, и MN=c
. Опустим перпендикуляры MX
и NY
на AC
и BC
соответственно и проведём через точку M
прямую, параллельную AC
и пересекающую AB
в точке Z
. Поскольку
MX\lt MN=ML\lt MZ,
сторона b
квадрата, вписанного в треугольник, с основанием на AC
, больше MX
. Аналогично, сторона a
вписанного квадрата с основанием на BC
больше NY
.
Пусть H
— точка пересечения MX
и NY
. Поскольку
MN^{2}-MX^{2}=NX^{2}\lt NH^{2}\lt NY^{2},~\mbox{т. е.}~NX^{2}+NY^{2}\gt MN^{2},
а так как b\gt NX
и a\gt NY
, то
b^{2}+a^{2}\gt NX^{2}+NY^{2}\gt MN^{2}=c^{2}
Следовательно, по доказанному ранее, из отрезков a
, b
, c
можно составить остроугольный треугольник.