10545. Четырёхугольник ABCD
описан вокруг окружности радиуса 1. Найдите наибольшее возможное значение величины \frac{1}{AC^{2}}+\frac{1}{BD^{2}}
.
Ответ. \frac{1}{4}
.
Решение. Пусть O
— точка пересечения диагоналей четырёхугольника ABCD
, S
— площадь четырёхугольника, P
— его периметр, r
— радиус вписанной окружности.
Будем считать, что \angle AOB\geqslant90^{\circ}
. Пусть E
— четвёртая вершина параллелограмма BECD
.
Поскольку
S=\frac{1}{2}AC\cdot BD\sin\angle AOB\leqslant\frac{1}{2}AC\cdot BD,
получаем, что
AC\cdot BD\geqslant2S=r\cdot P=r(2(AB+CD))=2r(AB+CD).
Кроме того,
AB+CD=AB+BE\geqslant AE,~
а так как \angle ECA=\angle AOB\geqslant90^{\circ}
, то
AE^{2}\geqslant AC^{2}+CE^{2}=AC^{2}+BD^{2}
(см. задачу 4005). Отсюда получаем
AC^{2}\cdot BD^{2}=4r^{2}(AB+BC)^{2}\geqslant4r^{2}(AC^{2}+BD^{2})~\Rightarrow~\frac{1}{AC^{2}}+\frac{1}{BD^{2}}~\leqslant\frac{1}{4r^{2}}=\frac{1}{4}.
Равенство достигается при
AC\cdot BD=2S~\Leftrightarrow~AC\perp BD
и
AB+BE=AE~\Leftrightarrow~AB\parallel CD,
т. е. когда ABCD
— ромб.