10554. На сторонах AB
и AC
треугольника ABC
во внешнюю сторону построены квадраты ABMN
и ACKL
. Найдите угол между прямыми BL
и CN
.
Ответ. 90^{\circ}
.
Решение. Пусть прямые BL
и CN
пересекаются в точке P
. Треугольники CAN
и LAB
равны по двум сторонам (AN=AB
, AC=AL
) и углу между ними, поэтому
\angle ANP=\angle ANC=\angle ABL=\angle ABP.
Значит, точки A
, P
, B
и N
лежат на одной окружности (см. задачу 12). Точки A
, M
, B
и N
также лежат на одной окружности, так как \angle BAN=\angle BMN=90^{\circ}
, причём BN
— её диаметр. Через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная окружность, значит, точки A
, P
, B
, N
и M
лежат на окружности с диаметром BN
. Следовательно, \angle BPN=90^{\circ}
.