10556. Точка O
— центр вписанной в треугольник ABC
окружности. Продолжение отрезка BO
за точку O
пересекает описанную вокруг треугольника ABC
окружность в точке D
. Найдите угол B
, если OD=4AC
.
Ответ. 2\arccos\frac{1}{8}=\arccos\left(-\frac{31}{32}\right)
.
Решение. Обозначим \angle ABC=\beta
. Тогда из вписанного четырёхугольника ABCD
получаем, что \angle ADC=180^{\circ}-\beta
.
Треугольник ADC
равнобедренный, так как точка D
— середина дуги AC
, не содержащей точки B
(см. задачу 430). При этом AD=OD=4AC
(см. задачу 788), поэтому
\cos\frac{\beta}{2}=\sin\left(90^{\circ}-\frac{\beta}{2}\right)=\sin\frac{1}{2}\angle ADC=\frac{AC}{2AD}=\frac{1}{8}
Следовательно, \beta=2\arccos\frac{1}{8}
.
Источник: Математическая олимпиада МГУ «Ломоносов». — 2012, вариант 1, № 5
Источник: Бегунц А. В., Бородин П. А. и др. Олимпиада школьников «Ломоносов» по математике (2005—2018). — М.: МЦНМО, 2019. — с. 27