10557. Точка O
— центр вписанной в треугольник ABC
окружности. Продолжение отрезка AO
за точку O
пересекает описанную вокруг треугольника ABC
окружность в точке D
. Найдите угол A
, если OD=3BC
.
Ответ. 2\arccos\frac{1}{6}=\arccos\left(-\frac{17}{18}\right)
.
Решение. Обозначим \angle BAC=\alpha
. Тогда из вписанного четырёхугольника ABCD
получаем, что \angle ADC=180^{\circ}-\alpha
.
Треугольник BDC
равнобедренный, так как точка D
— середина дуги BC
, не содержащей точки A
(см. задачу 430). При этом BD=OD=3BC
(см. задачу 788), поэтому
\cos\frac{\alpha}{2}=\sin\left(90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}\right)=\sin\frac{1}{2}\angle BDC=\frac{BC}{2BD}=\frac{1}{6}
Следовательно, \alpha=2\arccos\frac{1}{6}
.
Источник: Математическая олимпиада МГУ «Ломоносов». — 2012, вариант 2, № 5
Источник: Бегунц А. В., Бородин П. А. и др. Олимпиада школьников «Ломоносов» по математике (2005—2018). — М.: МЦНМО, 2019. — с. 28