10588. Докажите, что треугольник ABC
будет тупоугольным, прямоугольным или остроугольный в зависимости от того, будет ли \cos^{2}A+\cos^{2}B+\cos^{2}C
больше, равно или меньше 1.
Решение. Из задачи 3254 следует, что
s=\cos^{2}A+\cos^{2}B+\cos^{2}C=1-2\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma.
Пусть s\gt1
. Тогда \cos\alpha\cos\beta\cos\gamma\lt0
, значит, ровно один сомножитель этого произведения отрицателен. Следовательно, треугольник тупоугольный.
Пусть s=1
. Тогда \cos\alpha\cos\beta\cos\gamma=0
, значит, ровно один сомножитель этого произведения равен нулю. Следовательно, треугольник прямоугольный.
Пусть s\lt1
. Тогда \cos\alpha\cos\beta\cos\gamma\gt0
, значит, все три сомножителя этого произведения положительны. Следовательно, треугольник остроугольный.
Источник: Саратовская олимпиада. — 1952/1953, I тур, 10 класс
Источник: Андреева А. Н., Барабанов А. И., Чернявский И. Я. Саратовские математические олимпиады. 1950/51—1994/95. — М.: МЦНМО, 2013. — № 16, с. 12