10589. Каково должно быть расстояние между центрами двух окружностей радиусов r
и R
для того, чтобы внешняя общая касательная была вдвое меньше внутренней?
Ответ. \sqrt{\left(R+\frac{r}{3}\right)(R+3r)}
.
Решение. Пусть a
— расстояние между центрами окружностей. Отрезки общих внешних и общих внутренних касательных, заключённые между точками касания, равны соответственно
\sqrt{a-(R-r)^{2}}~\mbox{и}~\sqrt{a-(R+r)^{2}}
(см. задачу 385). Из уравнения \sqrt{a-(R-r)^{2}}=2\sqrt{a-(R+r)^{2}}
находим, что
a=\frac{1}{9}\sqrt{3R^{2}+10rR+3r^{2}}=\sqrt{\left(R+\frac{r}{3}\right)(R+3r)}.
Источник: Саратовская олимпиада. — 1953/1954, II тур, 9 класс
Источник: Андреева А. Н., Барабанов А. И., Чернявский И. Я. Саратовские математические олимпиады. 1950/51—1994/95. — М.: МЦНМО, 2013. — № 30, с. 13