10590. Из точки к окружности проведены две касательные. Докажите, что отрезок, соединяющий середины проведённых касательных, не пересекает данной окружности.
Решение. Пусть прямые, проходящие через точку A
, лежащую вне окружности радиуса R
с центром O
, касаются окружности в точках B
и C
, точки D
и K
— середины отрезков AB
и AC
соответственно, а отрезок OA
пересекается с отрезками BC
и DK
в точках E
и F
соответственно.
Отрезок BE
— высота прямоугольного треугольника AOB
, проведённая из вершины прямого угла (см. задачу 1180). Обозначим
\angle OAB=\angle OBE=\alpha\lt90^{\circ}.
Тогда 0\lt\sin\alpha\lt1
.
Точка F
— середина отрезка AE
, поэтому
OF=\frac{1}{2}(OE+OA)=\frac{1}{2}\left(OB\sin\alpha+\frac{OB}{\sin\alpha}\right)=\frac{R}{2}\left(\sin\alpha+\frac{1}{\sin\alpha}\right)\gt\frac{R}{2}\cdot2=R
(неравенство строгое, так как \sin\alpha\ne1
).
По теореме о средней линии треугольника DK\parallel BC
, а так как AO\perp BC
, то OF\perp DK
, т. е. расстояние от точки O
до прямой DK
больше радиуса окружности. Следовательно, эта прямая не имеет с окружностью общих точек.