10591. Докажите, что в остроугольном треугольнике точка пересечения высот лежит ближе к наименьшей из сторон.
Решение. Пусть AD
, BE
и CF
— высоты остроугольного треугольника ABC
, H
— точка их пересечения, причём AB\leqslant BC\leqslant BE
. Тогда CF\geqslant AD\geqslant BE
(см. задачу 3536).
Из подобия прямоугольных треугольников BFH
и CEH
получаем, что
\frac{FH}{EH}=\frac{BH}{CH}=\frac{BE-EH}{CF-FH}~\Rightarrow
\Rightarrow~FH\cdot CF-FH^{2}=EH\cdot BE-EH^{2}~\Rightarrow
\Rightarrow~(FH-EH)(FH+EH)=FH^{2}-EH^{2}=FH\cdot CF-EH\cdot BE\geqslant
\geqslant FH\cdot BE-EH\cdot BE\geqslant BE(FH-EH),
так как CF\geqslant BE
. Тогда
(FH-EH)(BE-EH-FH)\leqslant0,
а так как BE-EH=BH
и BH\gt FH
(гипотенуза больше катета), то из неравенства
(FH-EH)(BH-FH)\leqslant0
следует, что FH\lt EH
.
Аналогично докажем, что FH\lt DH
.
Источник: Саратовская олимпиада. — 1956/1957, II тур, 10 класс
Источник: Андреева А. Н., Барабанов А. И., Чернявский И. Я. Саратовские математические олимпиады. 1950/51—1994/95. — М.: МЦНМО, 2013. — № 71, с. 17