10614. Диагонали AC
и BD
трапеции ABCD
(AD\parallel BC
) взаимно перпендикулярны, средняя линия трапеции равна m
. На большем основании AD
взята такая точка M
, что AM=m
. Найдите CM
.
Ответ. m
.
Решение. Через вершину C
проведём прямую, параллельную диагонали BD
. Пусть эта прямая пересекается с прямой AD
в точке K
. Тогда CK\perp AC
, а BCKD
— параллелограмм, поэтому DK=BC
. Значит,
AK=AD+DK=AD+BC=2m,
а так как AM=m
, то M
— середина гипотенузы AK
прямоугольного треугольника ACK
. Следовательно (см. задачу 1109),
CM=\frac{1}{2}AK=\frac{1}{2}\cdot2m=m.
Источник: Саратовская олимпиада. — 1990/1991, III тур, 9 класс
Источник: Андреева А. Н., Барабанов А. И., Чернявский И. Я. Саратовские математические олимпиады. 1950/51—1994/95. — М.: МЦНМО, 2013. — № 1064, с. 109