10627. Медиана AM
треугольника ABC
делит угол BAC
в отношении \angle BAM:\angle CAM=1:2
. На продолжении этой медианы за точку M
отмечена такая точка D
, что BD\perp AB
. Докажите, что AC=\frac{1}{2}AD
.
Решение. Положим \angle BAM=\alpha
, \angle CAM=2\alpha
. Достроим треугольник ABC
до параллелограмма ABPC
. Тогда BP=AC
и \angle BPM=\angle CAM=2\alpha
.
Пусть T
— середина отрезка AD
. Тогда BT
— медиана прямоугольного треугольника ABD
, проведённая из вершины прямого угла. Значит, BT=DT=AT
(см. задачу 1109), а так как BTD
— внешний угол равнобедренного треугольника ATB
, то
\angle BTD=2\angle BAT=2\alpha=\angle BPM.
Следовательно,
AC=BP=BT=\frac{1}{2}AD.
Что и требовалось доказать.