10628. Точка M
— середина стороны AB
квадрата ABCD
. Прямая, проведённая через точку M
перпендикулярно CM
, пересекает сторону AD
в точке K
. Докажите, что \angle BCM=\angle KCM
.
Решение. Первый способ. Пусть прямая, проходящая через точку M
перпендикулярно стороне AB
, пересекает отрезок CK
в точке P
. Тогда MP\parallel AD\parallel BC
, поэтому P
— середина гипотенузы CK
прямоугольного треугольника CMK
. Значит, MP=PC
(см. задачу 1109). Следовательно,
\angle KCM=\angle PCM=\angle CMP=\angle BCM.
Второй способ. Пусть прямые KM
и BC
пересекаются в точке G
. Прямоугольные треугольники AMK
и BMG
равны по катету и прилежащему острому углу, поэтому KM=MG
. Высота треугольника KCG
является медианой, значит, этот треугольник равнобедренный, CK=CG
. Следовательно, CM
— биссектриса треугольника KCG
, т. е. \angle BCM=\angle KCM
.
Третий способ. Пусть сторона квадрата равна 1. Тогда
BM=\frac{1}{2},~CM=\sqrt{1+\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt{5}}{2},~
а так как
\angle AMK=90^{\circ}-\angle BMK=\angle BCM,
то треугольник AMK
подобен треугольнику BCM
, причём коэффициент подобия равен \frac{AM}{BC}=\frac{1}{2}
. Значит,
MK=\frac{1}{2}CM=\frac{\sqrt{5}}{4}.
Тогда
\frac{MK}{BM}=\frac{\frac{\sqrt{5}}{4}}{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{5}}{2}~\mbox{и}~\frac{CM}{BC}=\frac{\frac{\sqrt{5}}{2}}{1}=\frac{\sqrt{5}}{2}=\frac{MK}{BM},
поэтому прямоугольные треугольники CMK
и CBM
подобны. Следовательно, \angle BCM=\angle KCM
.
Примечание. Заметим, что стороны треугольника DKC
пропорциональны числам 3, 4, 5.