10631. Точка M
лежит внутри квадрата ABCD
, причём \angle MAC=\angle DCM=\alpha
. Найдите угол ABM
.
Ответ. 90^{\circ}-2\alpha
.
Решение. Диагональ квадрата образует с его стороной угол 45^{\circ}
, поэтому
\angle ACM=\angle DAM=45^{\circ}-\alpha.
Значит,
\angle AMC=180^{\circ}-\alpha-(45^{\circ}-\alpha)=135^{\circ},
а так как \angle ABC=90^{\circ}
, то точка M
лежит на окружности с центром B
и радиусом BA=BC
(см. задачу 2900). Центральный угол ABM
этой окружности вдвое больше вписанного угла ACM
. Следовательно,
\angle ABM=2\angle ACM=2(45^{\circ}-\alpha)=90^{\circ}-2\alpha.