10632. На гипотенузе AB
прямоугольного треугольника ABC
отмечены такие точки D
и E
, что DB=BC
и AE=AC
. Точки F
и G
— проекции точек E
и D
на катеты BC
и AC
соответственно. Докажите, что DG+EF=DE
.
Решение. Обозначим \angle BAC=\alpha
. Из равнобедренного треугольника CAE
получаем, что
\angle AEC=\angle ACE=90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}.
Тогда
\angle FCE=90^{\circ}-\left(90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}\right)=\frac{\alpha}{2},~\angle CEF=90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}=\angle AEC.
Пусть CH
— высота треугольника ABC
. Прямоугольные треугольники CHE
и CHF
равны по гипотенузе и острому углу, поэтому HE=EF
. Аналогично докажем, что HD=DG
. Следовательно,
DG+EF=HD+HE=DE.
Примечание. Заметим, что \angle DCE=45^{\circ}
(см. задачу 1668).
Источник: Posamentier A. S., Salkind Ch. T. Challenging Problems in Geometry. — N.Y.: Dover Publication, 2017. — № 1.12, с. 4