10635. На продолжении основания BC
равнобедренного треугольника ABC
за точку B
отмечена точка P
. Отрезок BF
— высота треугольника ABC
. Точки E
и D
— проекции точки P
на прямые AB
и AC
соответственно, причём точка D
лежит между точками A
и F
. Выразите отрезок BF
через PD
и PE
.
Ответ. BF=PD-PE
.
Решение. Первый способ. Площадь треугольника APC
равна сумме площадей треугольников APB
и ABC
, т. е.
\frac{1}{2}AB\cdot PE+\frac{1}{2}AC\cdot BF=\frac{1}{2}AC\cdot PD,
а так как AB=AC
, то
BF=PD-PE.
Второй способ. Прямоугольные треугольники BEP
и CFB
подобны, так как
\angle PBE=\angle ABC=\angle ACB=\angle FCB.
Значит, \frac{PB}{BC}=\frac{PE}{BF}
.
Поскольку PD\parallel BF
, треугольники CDP
и CFB
также подобны, поэтому
\frac{a}{h}=\frac{PD}{BF}=\frac{PB+BC}{BC}.
Тогда по свойству пропорций
\frac{PD-BF}{BF}=\frac{PB+BC-BC}{BC}=\frac{PB}{BC}.
Значит, \frac{PD-BF}{BF}=\frac{PE}{BF}
, откуда PD-BF=PE
. Следовательно, BF=PD-PE
.
Третий способ. Пусть G
— проекция точки B
на прямую PD
. Тогда BFDG
— прямоугольник, поэтому
BF=DG=PD-PG.
Прямоугольные треугольники PBG
и PBE
равны по гипотенузе и острому углу, так как
\angle PBG=\angle PCA=\angle ABC=\angle PBE.
Значит, PG=PE
. Следовательно,
BF=PD-PG=PD-PE.
Примечание. Если точка P
лежит на отрезке BC
, то BF=PD+PE
(см. задачу 1877).
Источник: Posamentier A. S., Salkind Ch. T. Challenging Problems in Geometry. — N.Y.: Dover Publication, 2017. — № 2.2, с. 7