10639. В треугольнике ABC
проведена биссектриса AD
. Точка E
— основание перпендикуляра, опущенного из вершины B
на прямую AD
. Прямая, проходящая через точку E
параллельно AC
, пересекает стороны BC
и AB
в точках G
и H
соответственно. Найдите DG
, если AB=26
, BC=28
, AC=30
.
Ответ. 1.
Решение. По свойству биссектрисы треугольника (см. задачу 1509) BD:DC=AB:BC=13:15
, поэтому BD=13
.
Из параллельности прямых GH
и AC
получаем, что
\angle AEH=\angle CAE=\angle EAH,
значит, треугольник AEH
равнобедренный, AH=EH
.
Точка H
равноудалена от концов отрезка AE
, поэтому она лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AE
, который параллелен катету BE
прямоугольного треугольника ABE
. Следовательно, по теореме Фалеса H
— середина AB
, а GH
— средняя линия треугольника ABC
. Значит, G
— середина стороны BC
. Тогда
DG=BG-BD=14-13=1.
Источник: Posamentier A. S., Salkind Ch. T. Challenging Problems in Geometry. — N.Y.: Dover Publication, 2017. — № 2.8, с. 8