10653. Точка E
— середина медианы AD
треугольника ABC
. Точка F
— середина отрезка BE
, а точка G
— середина отрезка CF
. Какую часть площади треугольника ABC
составляет площадь треугольника EFG
?
Ответ. \frac{1}{8}
.
Решение. Пусть площадь треугольника ABC
равна S
. Поскольку отношение высот треугольников BEC
и ABC
, опущенных на общее основание BC
, равно 2, то S_{\triangle BEC}=\frac{1}{2}S
.
Отрезок CF
— медиана треугольника BEC
, поэтому
S_{\triangle FEC}=\frac{1}{2}S_{\triangle BEC}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}S=\frac{1}{4}S
(см. задачу 3001).
Отрезок EG
— медиана треугольника EFG
, поэтому
S_{\triangle EFG}=\frac{1}{2}S_{\triangle FEC}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4}S=\frac{1}{8}S.
Источник: Posamentier A. S., Salkind Ch. T. Challenging Problems in Geometry. — N.Y.: Dover Publication, 2017. — № 5.17, с. 27