10655. Внутри квадрата ABCD
расположена точка P
. Известно, что PA=3
, PB=7
, PD=5
. Найдите площадь квадрата.
Ответ. 58.
Решение. Рассмотрим поворот вокруг вершины A
на 90^{\circ}
, при котором вершина D
перейдёт в B
. Пусть P'
— образ точки P
при этом повороте. Треугольник PAP'
прямоугольный и равнобедренный, поэтому PP'=3\sqrt{2}
. В треугольнике PBP'
известно, что
PP'=3\sqrt{2},~BP=7,~BP'=DP=7.
По формуле Герона
S_{\triangle PBP'}=\sqrt{\frac{12+3\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{3\sqrt{2}-2}{2}\cdot\frac{3\sqrt{2}+2}{2}\cdot\frac{12-3\sqrt{2}}{2}}=
=\sqrt{\frac{144-18}{4}\cdot\frac{18-4}{4}}=\frac{\sqrt{126\cdot14}}{4}=\frac{21}{2}.
С другой стороны,
S_{\triangle PBP'}=\frac{1}{2}PB\cdot PP'\sin\angle BPP'=\frac{1}{2}\cdot7\cdot3\sqrt{2}\sin\angle BPP'=\frac{21\sqrt{2}}{2}\cdot\sin\angle BPP'.
Из равенства \frac{21\sqrt{2}}{2}\cdot\sin\angle BPP'=\frac{21}{2}
находим, что \sin\angle BPP'=\frac{1}{\sqrt{2}}
, а так как этот угол острый (он лежит против не самой большой стороны треугольника BPP'
), то \angle BPP'=45^{\circ}
. Тогда
\angle APB=\angle APP'+\angle BPP'=45^{\circ}+45^{\circ}=90^{\circ}.
Из прямоугольного треугольника APB
по теореме Пифагора находим, что
AB^{2}=AP^{2}+BP^{2}=9+49=58.
Следовательно, площадь квадрата равна 58.
Примечание. Заметим, что PA^{2}+PC^{2}=PB^{2}+PD^{2}
(см. задачу 2169), поэтому
PC^{2}=PB^{2}+PD^{2}-PA^{2}=49+25-9=65,~PC=\sqrt{65}.