10656. Окружность, проходящая через вершину A
параллелограмма ABCD
, пересекает стороны AB
и AD
в точках P
и R
соответственно, а диагональ AC
— в точке Q
. Докажите, что
AQ\cdot AC=AP\cdot AB+AR\cdot AD.
Решение. Вписанные углы PAQ
и PRQ
опираются на одну и ту же дугу, поэтому
\angle ACD=\angle BAC=\angle PAQ=\angle PRQ.
Аналогично
\angle ACB=\angle CAD=\angle QAR=\angle QPR.
Значит, треугольники ABC
, CDA
и RQP
подобны по двум углам, поэтому
\frac{AC}{PR}=\frac{AB}{QR}=\frac{AD}{PQ}.
Применив теорему Птолемея к вписанному четырёхугольнику APQR
(см. задачу 130), получим, что
AQ\cdot PR=QR\cdot AP+PQ\cdot AR.
Тогда
AQ\cdot PR\cdot\frac{AC}{PR}=QR\cdot AP\cdot\frac{AB}{QR}+PQ\cdot AR\cdot\frac{AD}{PQ},~\mbox{или}
AQ\cdot AC=AP\cdot AB+AR\cdot AD.
Что и требовалось доказать.
Источник: Posamentier A. S., Salkind Ch. T. Challenging Problems in Geometry. — N.Y.: Dover Publication, 2017. — № 7.5, с. 34
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 6.44, с. 156