10657. На продолжении стороны AB
квадрата ABCD
за вершину B
отложен отрезок BP=2AB
. Точка M
— середина стороны CD
, а отрезки BM
и AC
пересекаются в точке Q
. В каком отношении прямая PQ
делит сторону BC
?
Ответ. BR:RC=4:3
.
Решение. Из подобия треугольников CQM
и AQB
находим, что
\frac{CQ}{QA}=\frac{CM}{AB}=\frac{1}{2}.
Пусть прямая PQ
пересекает сторону BC
в точке R
. По теореме Менелая для треугольника ABC
и прямой PQ
(см. задачу 1622) получаем, что
\frac{CQ}{QA}\cdot\frac{AP}{PB}\cdot\frac{BR}{RC}=1,~\mbox{или}~\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{2}\cdot\frac{BR}{RC}=1.
Следовательно, \frac{BR}{RC}=\frac{4}{3}
.
Примечание. Если BP=kAB
, то аналогично получим, что \frac{BR}{RC}=\frac{2k}{k+1}
. Тот же результат, если ABCD
— параллелограмм.