10660. Две из трёх прямых, проходящих через точку P
, лежащую вне окружности, касаются окружности в точках A
и B
, а третья пересекает окружность последовательно в точках C
и D
. Известно, что AC=9
, AD=12
, BD=10
. Найдите BC
.
Ответ. \frac{15}{2}
.
Решение. Из теоремы об угле между касательной и хордой (см. задачу 87) следует, что
\angle PAC=\angle CDA=\angle PDA,
значит, треугольники PAC
и PDA
с общим углом при вершине P
подобны. Тогда
\frac{PA}{PD}=\frac{AC}{AD}=\frac{9}{12}=\frac{3}{4}.
Аналогично, треугольники PBC
и PDB
также подобны по двум углам, поэтому
\frac{PB}{PD}=\frac{BC}{BD}=\frac{BC}{10},
а так как PA=PB
, то \frac{BC}{10}=\frac{3}{4}
, откуда находим, что BC=\frac{15}{2}
.
Источник: Posamentier A. S., Salkind Ch. T. Challenging Problems in Geometry. — N.Y.: Dover Publication, 2017. — № 4.18, с. 18