10665. Дан треугольник ABC
и прямая, пересекающая прямые AB
, BC
и AC
в точках Q
, R
и S
соответственно. Описанные окружности треугольников ABC
и CSR
вторично пересекаются в точке P
. Докажите, что точки A
, P
, S
и Q
лежат на одной окружности.
Решение. Пусть X
, Y
, Z
и W
— основания перпендикуляров, опущенных из точки P
на прямые AB
, AC
, QR
и BC
соответственно. Точка P
лежит на описанной окружности треугольника ABC
, поэтому точки X
, Y
и W
лежат на одной прямой — прямой Симсона треугольника ABC
(см. задачу 83).
Точка P
лежит на описанной окружности треугольника CRS
, поэтому точки Y
, Z
и W
также лежат на одной прямой — прямой Симсона треугольника CRS
(см. задачу 83). Значит, основания X
, Y
и Z
перпендикуляров, опущенных из точки P
на прямые AQ
, AS
и QS
, содержащие стороны треугольника AQS
, лежат на одной прямой. Тогда точка P
лежит на описанной окружности треугольника AQS
(см. задачу 6088). Следовательно, точки A
, P
, S
и Q
лежат на одной окружности — описанной окружности треугольника AQS
.
Источник: Posamentier A. S., Salkind Ch. T. Challenging Problems in Geometry. — N.Y.: Dover Publication, 2017. — № 9.4, с. 43