10668. На медиане BM
треугольника ABC
отмечена такая точка K
, что \angle MKC=\angle BCM
. Докажите, что \angle AKM=\angle BAM
.
Решение. Первый способ. На продолжении медианы BM
за точку M
отложим отрезок MD=BM
. Тогда ABCD
— параллелограмм, поэтому
\angle DKC=\angle MKC=\angle BCM=\angle BCA=\angle DAC.
Из точек K
и A
, лежащих по одну сторону от прямой CD
, отрезок CD
виден под одним и тем же углом, значит, точки A
, K
, C
и D
лежат на одной окружности (см. задачу 12). Вписанные в эту окружность углы AKD
и ACD
опираются на одну и ту же дугу, следовательно,
\angle AKM=\angle AKD=\angle ACD=\angle BAC=\angle BAM.
Что и требовалось доказать.
Второй способ. Треугольник CMK
подобен треугольнику BMC
по двум углам (угол при вершине M
— общий), значит,
\frac{CM}{BM}=\frac{KM}{CM},~\mbox{или}~\frac{AM}{BM}=\frac{KM}{AM}.
Тогда треугольник AKM
подобен треугольнику BAM
по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, \angle AKM=\angle BAM
.