10670. Точки H
и O
— соответственно ортоцентр и центр описанной окружности треугольника ABC
с углом 120^{\circ}
при вершине C
. Точка M
— середина дуги ACB
. Докажите, что MH=MO
.
Решение. Поскольку M
— середина дуги ACB
, радиус OM
перпендикулярен стороне AB
, а так как H
— ортоцентр треугольника ABC
, то HC\perp AB
. Значит, OM\parallel HC
. Кроме того, \smile ACM=60^{\circ}
, поэтому треугольники AOM
и BOM
равносторонние, значит, радиус OM
делится хордой AB
пополам. Тогда, если K
— середина OM
, то
HC=2OK=OM
(см. задачу 1257).
Противоположные стороны HC
и OM
четырёхугольника COMH
параллельны и равны, значит, это параллелограмм, а так как OM=OC
, это ромб. Следовательно, MH=MO
.