10676. С помощью циркуля и линейки восстановите остроугольный треугольник по основаниям высот, проведённых из двух вершин, и прямой, содержащей сторону, противолежащую третьей вершине.
Решение. Предположим, искомый треугольник ABC
построен: AA_{1}
, CC_{1}
— его высоты, AC
— данная сторона. Серединный перпендикуляр к отрезку A_{1}C_{1}
пересекает сторону AC
в её середине (см. задачу 10675). Отсюда вытекает следующий способ построения.
Строим серединный перпендикуляр к данному отрезку A_{1}C_{1}
. Пусть O
— точка его пересечения с данным отрезком AC
. С центром O
строим окружность радиусом OA_{1}=OC_{1}
. Пусть A
и C
— точки её пересечения с данной прямой (точки A
и A_{1}
лежат по разные стороны от построенного серединного перпендикуляра). Тогда прямые AC_{1}
и CA_{1}
пересекаются в вершине B
искомого треугольника ABC
.