10678. В окружности проведены перпендикулярные хорды AB
и CD
, пересекающиеся в точке E
. Известно, что AE=2
, BE=12
, CE=4
. Найдите расстояние от точки E
до центра окружности.
Ответ. \sqrt{26}
.
Решение. Пусть O
— центр окружности, R
— её радиус, M
и N
— основания перпендикуляров, опущенных из точки O
на хорды AB
и CD
соответственно. Тогда M
и N
— середины этих хорд (см. задачу 1676). По теореме о произведении отрезков пересекающихся хорд (см. задачу 2627) CE\cdot DE=AE\cdot BE
, откуда
DE=\frac{AE\cdot BE}{CE}=\frac{2\cdot12}{4}=6.
Четырёхугольник OMEN
— прямоугольник со сторонами
OM=EN=DE-DN=DE-\frac{1}{2}CD=6-5=1,~
ME=BE-BM=BE-\frac{1}{2}AB=12-7=5.
Из прямоугольного треугольника OME
находим, что
OE=\sqrt{OM^{2}+ME^{2}}=\sqrt{1+25}=\sqrt{26}.
Примечание. Второй вариант. Диагонали KM
и LN
вписанного в окружность четырёхугольника KLMN
перпендикулярны и пересекаются в точке A
. Известно, что AK=5
, AL=3
и AN=5
. Найдите радиус окружности.
Ответ: \sqrt{85}
.