10685. Пусть R_{1}
, R_{2}
и R_{3}
— радиусы трёх окружностей, каждая из которых проходит через вершину треугольника и касается противолежащей стороны. Докажите, что
\frac{1}{R_{1}}+\frac{1}{R_{2}}+\frac{1}{R_{3}}\leqslant\frac{2}{r},
где r
— радиус окружности, вписанной в этот треугольник.
Указание. См. задачу 3239.
Решение. Рассмотрим треугольник ABC
и одну из указанных окружностей, которая проходит через вершину B
и касается стороны AC
в точке D
. Её диаметр не меньше, чем хорда BD
, которая, в свою очередь, не меньше, чем высота BH
треугольника. Таким образом,
\frac{1}{2R_{1}}+\frac{1}{2R_{2}}+\frac{1}{2R_{3}}\leqslant\frac{1}{h_{1}}+\frac{1}{h_{2}}+\frac{1}{h_{3}}=\frac{1}{r},
где h_{1}
, h_{2}
, h_{3}
— высоты треугольника (см. задачу 3239). Следовательно,
\frac{1}{R_{1}}+\frac{1}{R_{2}}+\frac{1}{R_{3}}\leqslant\frac{2}{r}.