10687. Биссектриса угла
A
остроугольного треугольника
ABC
пересекает окружность, описанную около этого треугольника, в точке
D
. Сумма расстояний от вершин
B
и
C
до прямой
AD
в два раза меньше
AD
. Найдите угол
BAC
.
Ответ.
30^{\circ}
.
Решение. Пусть
E
и
F
— основания перпендикуляров, опущенных на
AD
из вершин
B
и
C
соответственно (рис. 1),
Первый способ. Пусть также
O
и
R
— центр и радиус данной окружности,
K
—середина хорды
AD=2d
,
L
— точка пересечения
AD
и
BC
(рис. 1). Поскольку
D
— середина дуги
BC
, то
OD\perp BC
. Тогда
\angle LCF=\angle ODK=\angle LBE

(острые углы с соответственно перпендикулярными сторонами). Значит, подобны прямоугольные треугольники
LCF
,
ODK
и
LBE
. Следовательно,
\frac{CF}{d}=\frac{CL}{R}
и
\frac{BE}{d}=\frac{BL}{R}
. Тогда
1=\frac{d}{d}=\frac{CF+BE}{d}=\frac{CL+BL}{R}=\frac{BC}{R},

т. е.
BC=R
. Значит, сторона
BC
видна из центра
O
под углом
60^{\circ}
, а из вершины
A
— под углом
30^{\circ}
.
Второй способ. Пусть
\angle BAD=\angle CAD=\alpha
. Через вершину
B
проведём прямую, параллельную
AD
. Её пересечения с прямыми
AC
,
CF
и окружностью (вторично) обозначим через
G
,
T
и
H
соответственно (рис. 2). Используя свойства параллельных прямых и вписанных углов, получим, что
CF+BE=CF+FT=CT,

\angle ACH=\angle ADH=\angle ABH=\alpha=\angle AGB.

Следовательно,
AGHD
— параллелограмм, а треугольник
CHG
равнобедренный, поэтому
CH=GH=AD=2(CF+BE)=2CT.

В прямоугольном треугольнике
CHT
известно, что
CH=AD=2CT
, значит,
\angle CHT=30^{\circ}
. Следовательно,
\angle BAC=\angle CHB=\angle CHT=30^{\circ}.

Третий способ. Обозначим
AB=c
,
AC=b
,
CF=x
,
BE=y
,
\angle BAD=\angle CAD=\alpha
. (рис. 3). Из прямоугольных треугольников
ACF
и
ABE
получаем, что
x=b\sin\alpha,~y=c\sin\alpha.

По условию,
AD=2(x+y)=2(b+c)\sin\alpha.

По формуле Архимеда (см. задачу 176)
AK=\frac{b+c}{2}
, где
K
— проекция точки
D
на прямую
AC
. Тогда
AD=2(b+c)\sin\alpha=4AK\sin\alpha.

Из прямоугольного треугольника
AKD
находим, что
AK=AD\cos\alpha
. Таким образом,
AD=4AD\sin\alpha\cos\alpha=2AD\sin2\alpha.

Отсюда
\sin2\alpha=\frac{1}{2}
. Следовательно,
\angle BAC=2\alpha=30^{\circ}.

Источник: Московская математическая регата. — 2018-2019, второй тур, № 2, 11 класс