10688. Отрезок EF
разбивает четырёхугольник ABCD
на два равновеликих четырёхугольника AEFD
и BEFC
, каждый из которых является вписанным. Найдите длину EF
, если BC=1
, AD=7
.
Ответ. 5
.
Решение. Докажем, что ABCD
— трапеция (рис. 1). Действительно,
\angle BCF=\angle AEF=180^{\circ}-\angle ADF,
Следовательно, BC\parallel AD
.
Пусть прямые AB
и DC
пересекаются в точке G
. Далее можно рассуждать по-разному.
Первый способ. Заметим, что треугольники AGD
, FGE
и BGC
подобны (угол G
общий, \angle EAD=\angle EFC=\angle GBC
). Следовательно,
\frac{S_{\triangle BGC}}{S_{\triangle AGD}}=\left(\frac{BC}{AD}\right)^{2}=\frac{1}{49}.
Пусть S_{\triangle BGC}=S
, тогда
S_{\triangle AGD}=49S,~S_{ABCD}=48S,~S_{EBCF}=S_{AEFD}=24S,
т. е. S_{\triangle EGF}=25S
. Значит, EF=5BC=5
.
Второй способ. Проведём биссектрису угла AGD
(рис. 2). При симметрии относительно неё образами точек E
и F
являются точки E_{1}
и F_{1}
соответственно, лежащие на другой стороне угла AGD
. Кроме того, отрезок EF
антипараллелен относительно прямых AG
и DG
основаниям BC
и AD
трапеции, значит, E_{1}F_{1}\parallel BC\parallel AD
.
Заметим также, что
S_{E_{1}CBF_{1}}=S_{\triangle E_{1}GF_{1}}-S_{\triangle BGC}=S_{\triangle EGF}-S_{\triangle BGC}=S_{ECBF}.
Длина отрезка, параллельного основаниям трапеции и делящего её на две равновеликие трапеции, равна среднему квадратичному длин оснований (см. задачу 3034), т. е.
EF=E_{1}F_{1}=\sqrt{\frac{AD^{2}+BC^{2}}{2}}=\sqrt{\frac{49+1}{2}}=5.
Источник: Московская математическая регата. — 2018-2019, четвёртый тур, № 2, 11 класс