10691. Биссектриса угла C
и внешнего угла A
трапеции ABCD
с основаниями BC
и AD
пересекаются в точке M
, а биссектриса угла B
и внешнего угла D
— в точке N
. Докажите, что середина отрезка MN
равноудалена от прямых AB
и CD
.
Решение. Первый способ. Пусть K
— середина MN
, x
и y
— расстояния от точек M
и N
соответственно до основания AD
, h
— высота трапеции (рис. 1). Заметим, что расстояния от точки K
до прямых AB
и CD
равны полусуммам соответствующих расстояний от точек M
и N
(средние линии прямоугольных трапеций).
Найдём расстояние от точки K
до прямой AB
. Поскольку точка M
лежит на биссектрисе внешнего угла A
, то она равноудалена от прямых AB
и AD
. Аналогично, точка N
равноудалена от прямых AB
и BC
. Следовательно, искомое расстояние равно \frac{1}{2}(x+y+h)
.
Рассуждая аналогично, получим, что расстояние от точки K
до прямой CD
также равно \frac{1}{2}(x+y+h)
. Что и требовалось доказать.
При некотором расположении точек длины отрезков могут войти в сумму с противоположным знаком. Решение в этих случаях аналогично рассмотренному.
Второй способ. Пусть биссектрисы углов B
и C
пересекаются в точке X
, биссектрисы внешних углов A
и D
— в точке Y
, а прямые AB
и CD
— в точке P
(рис. 2). Заметим, что биссектрисы угла C
и внешнего угла D
параллельны как биссектрисы соответственных углов при параллельных прямых BC
и AD
и секущей CD
. Аналогично, параллельны биссектрисы угла B
и внешнего угла A
. Следовательно, четырёхугольник MXNY
— параллелограмм, и середина отрезка MN
лежит на прямой XY
. Докажем, что прямая XY
содержит биссектрису угла APD
.
Действительно, точка X
является центром вневписанной окружности треугольника BPC
, так как лежит на пересечении биссектрис двух его внешних углов (см. задачу 1102). Аналогично, точка Y
— центр вневписанной окружности треугольника APD
. Таким образом, точки X
и Y
(а следовательно, и точка K
) лежат на биссектрисе угла APD
, откуда и следует искомая равноудалённость.
При некотором расположении вершин трапеции точки X
и Y
могут оказаться центрами вписанных окружностей. Решение в этих случаях аналогично рассмотренному.
(Также можно рассмотреть точки Q
и R
— середины сторон AB
и CD
соответственно. Тогда K
— центр вневписанной окружности треугольника PQR
.)