10694. Окружность \omega
касается сторон AB
и AC
треугольника ABC
в точках B_{1}
и C_{1}
соответственно, а также касается его описанной окружности \Omega
в точке K
. Пусть I
— центр вписанной окружности треугольника ABC
, K
. Докажите, что точки B
, K
, I
, B_{1}
(а также точки C
, K
, I
, C_{1}
) лежат на одной окружности.
Решение. Пусть N
— середина не содержащей точки K
дуги окружности \Omega
, а биссектрисы углов ABC
, ACB
и B'KC'
пересекают описанную окружность \Omega
в точках B'
C'
и D
соответственно. Тогда B'
, C'
и D
— середины меньших дуг соответственно AC
, AB
и B'C'
.
Обозначим
\smile AB'=\smile CB'=a,~\smile NC'=b,~\smile AD=x,~\smile DN=y.
Поскольку C'
и N
— середины дуг BNC
и AC'B
, то 2b+y=2a+x
и a+x=b+y
, откуда a=b
. Точки K
, I
и N
лежат на одной прямой (см. задачу 10684), поэтому \angle B_{1}KI=\angle C_{1}KN
. Значит,
\angle B_{1}KI=\angle C_{1}KN=\frac{1}{2}\smile NC'=\frac{1}{2}\smile AB'=\angle ABB'=\angle B'BI.
Следовательно, точки B
, K
, I
, B_{1}
лежат на одной окружности.
Аналогично, точки C
, K
, I
, C_{1}
тоже лежат на одной окружности.