10705. Вписанная окружность треугольника ABC
касается его сторон AC
и BC
в точках M
и N
. Докажите, что биссектриса угла A
треугольника ABC
пересекает эту окружность в центрах вписанной и вневписанной окружностей треугольника AMN
.
Решение. Пусть точка P
лежит внутри треугольника AMN
, а точка Q
— вне. Из задачи 362 следует, что P
— центр вписанной окружности треугольника AMN
. Докажем, что Q
— центр вневписанной окружности этого треугольника.
Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла, поэтому PQ
— диаметр вписанной окружности треугольника ABC
. Значит, \angle PMQ=90^{\circ}
, а так как MP
— биссектриса угла AMN
, то MQ
— биссектриса смежного с ним угла BMN
. Следовательно, P
— центр вневписанной окружности треугольника ABC
.