10714. В треугольнике ABC
проведены биссектрисы AA_{1}
, BB_{1}
и CC_{1}
. Биссектриса AA_{1}
пересекает отрезок B_{1}C_{1}
в точке T
. Прямая, проходящая через точку T
параллельно BC
, пересекает стороны AB
и AC
в точках K
и N
соответственно. Докажите, что 2KN=BK+CN
.
Решение. Первый способ. Пусть A_{2}
, B_{2}
и C_{2}
— проекции точки T
на прямые BC
, AC
и AB
соответственно. Обозначим TA_{2}=x
, TB_{2}=z
и TC_{2}=z
. Тогда по лемме биссектрального треугольника (см. задачу 1630) x=y+z
, а так как точка T
лежит на биссектрисе угла A
, то y=z
. Значит, x=2y=2z
.
Через точку T
проведём прямые, параллельные AB
и AC
. Пусть эти прямые пересекают сторону BC
в точках E
и F
соответственно. Тогда BKTE
— параллелограмм, поэтому BK=TE
. Поскольку
\angle TEA_{2}=\angle ABC=\angle C_{2}KT,
прямоугольные треугольники TEA_{2}
и TKC_{2}
подобны, причём коэффициент подобия равен
\frac{TA_{2}}{TC_{2}}=\frac{x}{z}=\frac{2z}{z}=2.
Значит, BK=TE=2KT
. Аналогично докажем, что CN=2NT
. Следовательно,
BK+CN=2KT+2NT=2(KT+NT)=2KN.
Второй способ. Пусть A_{2}
, B_{2}
и C_{2}
— проекции точки T
на прямые BC
, AC
и AB
соответственно. Обозначим TA_{2}=x
, TB_{2}=z
и TC_{2}=z
. Тогда по лемме биссектрального треугольника (см. задачу 1630) x=y+z
, а так как точка T
лежит на биссектрисе угла A
, то y=z
. Значит, x=2y=2z
.
Отрезки TB_{2}=y
, TB_{2}=z
и TA_{2}=x
— высоты треугольников BKT
, CNT
и KA_{1}N
соответственно, поэтому
S_{\triangle BKT}+S_{\triangle CNT}=\frac{1}{2}BK\cdot y+\frac{1}{2}CN\cdot z=\frac{1}{2}(BK+CN)y,
S_{\triangle KA_{1}N}=\frac{1}{2}KN\cdot x=KN\cdot y,
а так как
S_{\triangle BKT}+S_{\triangle CNT}=S_{\triangle KA_{1}T}+S_{\triangle NA_{1}T}=S_{\triangle KA_{1}T},
то \frac{1}{2}(BK+CN)y=KN\cdot y
. Следовательно, BK+CN=2KN
.
Примечание. См. статью А.Карлюченко и Г.Филипповского «Лемма биссектрального треугольника», Квант, 2016, N2, с.36-38.
Источник: Журнал «Квант». — 2016, № 2, с. 36
Источник: Математические олимпиады Боснии и Герцеговины. —
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2007, № 1 задача 2 (2005, с. 436), с. 22