10716. В треугольнике ABC
проведены биссектрисы AA_{1}
и BB_{1}
. Луч B_{1}A_{1}
пересекает описанную окружность этого треугольника в точке M
. Докажите, что \frac{1}{MB}=\frac{1}{MA}+\frac{1}{MC}
.
Указание. См. примечание к задаче 1630.
Решение. Пусть C_{2}
, B_{2}
и A_{2}
— проекции точки M
на прямые AB
, AC
и BC
соответственно. Обозначим MC_{2}=x
, MB_{2}=y
и MA_{2}=z
. Тогда y=x+z
(см. примечание к задаче 1630).
Четырёхугольник ABMC
вписанный, поэтому
\angle MBC_{2}=\angle MCA=\angle MCB_{2}.
Значит, прямоугольные треугольники MBC_{2}
и MCB_{2}
подобны. Следовательно, \frac{MC_{2}}{MB}=\frac{MB_{2}}{MC}
, или \frac{x}{MB}=\frac{y}{MC}
.
Вписанные углы MBC
и MAC
опираются на одну и ту же дугу, поэтому
\angle MBA_{2}=\angle MBC=\angle MAC=\angle MAB_{2}.
Значит, прямоугольные треугольники MBA_{2}
и MAB_{2}
подобны. Следовательно, \frac{MA_{2}}{MB}=\frac{MB_{2}}{MA}
, или \frac{z}{MB}=\frac{y}{MA}
.
Сложив доказанные равенства, получим, что
\frac{x}{MB}+\frac{z}{MB}=\frac{y}{MA}+\frac{y}{MC},
а так как x+z=y
, то
\frac{y}{MB}=\frac{y}{MA}+\frac{y}{MC},~\mbox{или}~\frac{1}{MB}=\frac{1}{MA}+\frac{1}{MC}.
Примечание. См. статью А.Карлюченко и Г.Филипповского «Лемма биссектрального треугольника», Квант, 2016, N2, с.36-38.
Автор: Козарев Р. (Болгария)
Источник: Национальная олимпиада Болгарии. — 1997
Источник: Журнал «Квант». — 2016, № 2, с. 37