10718. В треугольнике ABC
проведены биссектрисы AA_{1}
, BB_{1}
и CC_{1}
. Отрезки AA_{1}
и B_{1}C_{1}
пересекаются в точке T
. Докажите, что \frac{AT}{TA_{1}}=\frac{AB+AC}{2BC}
.
Указание. См. задачу 10714.
Решение. Обозначим \frac{AT}{AA_{1}}=k
. Тогда \frac{AT}{TA_{1}}=\frac{k}{1-k}
.
Пусть прямая, проведённая через точку T
параллельно BC
, пересекает стороны AB
и AC
в точках K
и N
соответственно. Из подобия треугольников AKN
и ABC
следует, что BK=(1-k)AB
, CN=(1-k)AC
и KN=kBC
. Кроме того, BK+CN=2KN
(см. задачу 10714), поэтому
\frac{AB+AC}{2BC}=\frac{\frac{BK}{1-k}+\frac{CN}{1-k}}{\frac{2KN}{k}}=\frac{BK+CN}{2KN}\cdot\frac{k}{1-k}=\frac{k}{1-k}=\frac{AT}{TA_{1}}.
Что и требовалось доказать.
Примечание. См. статью А.Карлюченко и Г.Филипповского «Лемма биссектрального треугольника», Квант, 2016, N2, с.36-38.