10719. Восстановите треугольник ABC
по вершине A
, основанию A_{1}
биссектрисы AA_{1}
и точке Q
пересечения прямой AB
с прямой, проходящей через основания A_{1}
и C_{1}
биссектрис AA_{1}
и CC_{1}
.
Указание. См. задачу 1630.
Решение. Пусть известно, что в исходном треугольнике точка A
лежит между B
и Q
.
Проведём прямые AQ
, A_{1}Q
и отрезок AA_{1}
. Отметим на продолжении отрезка AQ
за точку A
произвольную точку D
. От луча AA_{1}
в полуплоскость, содержащую точку Q
, отложим угол, равный углу DAA_{1}
. Сторона построенного угла, отличная от AA_{1}
, пересекает отрезок A_{1}Q
в точке C_{1}
— основании биссектрисы искомого треугольника, проведённой из вершины C
.
Отметим на отрезке A_{1}C_{1}
произвольную точку T
. Пусть x
и z
— расстояния от этой точки до прямых AQ
и AC_{1}
соответственно. С центром в точке T
проведём окружность радиусом z=x-y
(см. задачу 1630 — лемму биссектрального треугольника). Через точку A_{1}
проведём к этой окружности касательную, пересекающую прямую AC_{1}
в точке, расположенной на продолжении отрезка AC_{1}
за точку C_{1}
. Эта касательная пересекает прямые AQ
и AC_{1}
в вершинах B
и A
искомого треугольника ABC
.
Примечание. См. статью А.Карлюченко и Г.Филипповского «Лемма биссектрального треугольника», Квант, 2016, N2, с.36-38.