10721. Дан выпуклый четырёхугольник ABCD
. Лучи AB
и DC
пересекаются в точке F
, а лучи BC
и AD
— в точке E
. Точки E
и F
равноудалены от прямой BD
. Докажите, что диагональ AC
делит диагональ BD
пополам.
Решение. Пусть диагонали AC
и BD
данного четырёхугольника пересекаются в точке M
. Поскольку точки E
и D
равноудалены от прямой BD
и лежат по одну сторону от неё, прямые EF
и BD
параллельны. Тогда четырёхугольник BDEF
— трапеция, точка A
— пересечение продолжений её боковых сторон, а M
— точка пересечения диагоналей. Значит, по замечательному свойству трапеции прямая AM
проходит через середины оснований BD
и EF
(см. задачу 1513).