10727. На окружности отметили точку K
. Провели окружность с центром K
, касающуюся диаметра первой окружности в точке E
и пересекающую вторую окружность в точках P
и M
. Докажите, что прямая PM
делит отрезок KE
пополам.
Решение. Пусть проведённая окружность касается диаметра AB
первой окружности, прямая KE
пересекает окружность с центром K
в точке D
, а окружность с диаметром AB
— в точке T
, отличной от K
.
Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, поэтому KT\perp AB
. Диаметр, перпендикулярный хорде, делит её пополам, поэтому ET=KE
.
Обозначим KD=KE=ET=r
, PF=a
, MF=b
, KF=x
, FE=y
. Хорды DE
и PM
окружности с центром K
пересекаются в точке F
, поэтому DF\cdot FE=MF\cdot PF
(см. задачу 2627), или (x+r)y=ab
. Хорды KT
и PM
окружности с диаметром AB
пересекаются в точке F
, поэтому KF\cdot FT=MF\cdot PF
, или x(y+r)=ab
. Из равенства (x+r)y=x(y+r)
получаем, что x=y
, т. е. F
— середина отрезка KE
.